La forma de la clepsidra

​La clepsidra es un cuenco de sección circular utilizado como reloj de agua por los egipcios y los griegos. Se pide determinar la forma que debe tener el cuenco para que la bajada del nivel del agua se proporcional al tiempo.

Primeramente comenzamos definiendo nuestro sistema de coordenadas. Definimos, por conveniencia y sin pérdida de generalidad, el origen en la altura del agujero del cuenco (subíndice 2). Aplicamos la ecuación de continuidad de la corriente entre dicho punto y la altura del agua en un cierto instante arbitrario t (subíndice 1). 

Donde y(x,t) es justamente la altura del fluido en el recipiente y r es el radio del agujero por el cual se desaloja el líquido. 
Para que la bajada del nivel del agua sea proporcional al transcurrir del tiempo debe cumplirse simplemente dy/dt = k, siendo k una constante. De tal modo que de la ecuación de continuidad llegamos a:

Podemos utilizar ahora otra de las ecuaciones fundamentales de la mecánica de fluidos: la ecuación de Bernoulli. Como puntos de referencia tomamos los puntos 1 (altura del agua en un instante cualquiera) y 2 (salida del agua por el orificio). El resultado es:

donde hemos dado cuenta de que las presiones en ambos puntos son iguales a la atmosférica, por lo que se anulan y de que la velocidad en el punto 1 es constante e igual a k. 
Despejando la velocidad en 2 en la ecuación de continuidad de la corriente e introduciéndola en la ecuación de Bernoulli obtenemos:

De donde simplemente podemos depejar y(x) para obtener la forma que debe tener el cuenco.

Siempre que el nivel del agua sea suficientemente alto podemos considerar que el radio en la superficie es mucho mayor que el radio del orificio (x>>r) de tal modo que el resultado se simplifica notablemente. Por este camino llegamos a la expresión:
​

Utilizando la expresión anteriormente mencionada el problema se puede plantear y resolver de forma mucho más sencilla y rápida. Si asumimos x >> r entonces v^2 = 2gy. Aplicando la regla de la cadena e igualando caudales tenemos:

De donde directamente despejamos: